Từ M kẻ MK vuông góc với BC; gọi a là độ dài cạnh tam giác; CM =x

ta có MN² =MK² +KN² = (CN-CK)² +KM²

CK = MCcos60 = x/2; CN = AM = AC -CM = a-x; KM = CMsin60 = \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\)

=> MN² =(a-x -\(\frac{x}{2}\))² + \(\frac{3}{4}x^2=\)\(a^2-3ax+3x^2=3\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge\frac{a^2}{4}\)

=> MN\(\ge\frac{a}{2}\)

MN nhỏ nhất khi x= CM = \(\frac{a}{2}\) hay M là trung điểm của AC

với a=2014 thì MN nhỏ nhất là \(\frac{a}{2}=\frac{2014}{2}=1007\)

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là trung điểm BC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)

Đặt \(T=MB^2+MC^2-2MA^2\)

\(T=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2\)

\(=OB^2+OC^2-2OA^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=4\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{AD}\)

\(=4R.AD.cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\)

Do R và AD cố định \(\Rightarrow T_{min}\) khi \(cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)\) đạt min

\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{AD}\right)=-1\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MO}\) và \(\overrightarrow{AD}\) là 2 vecto ngược chiều

\(\Rightarrow\) M là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ngoại tiếp tam giác, với d đi qua O và song song AD sao cho A và M nằm về 2 phía so với đường thẳng BC

 Do MA và MC không đổi =>Để AM^2+BM^2+CM^2 nhỏ nhất =>AM là đường cao của tam giác ABC (1)
Mà ABC vuông cân =>M là trung điểm của BC
Kẻ MI vuông góc với AB,MK vuông góc với AC
suy ra MI // Ak,AI // MK suy ra AIMK là hình chữ nhật
Ta có :AM^2+BM^2+CM^
=AI^2+IM^2+IM^2+IB^2+CK^2+MK^2
=2AI^2+2IM^2+AM^2
=2*(AI^2+IM^2)+AM^2
=3AM^2
Từ (1) => AM^2+BM^2+c
 

Từ 1 => AM^2+BM^2+CM^2 bé nhất bằng 3AM^2

ai kết bạn với tui không

a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn

Do tính đối xứng, không mất tính tổng quát, giả sử M nằm giữa B và H

ABC vuông cân \(\Rightarrow BH=CH=AH\)

Ta có:

\(\dfrac{MA^2}{MB^2+MC^2}=\dfrac{MA^2}{\left(BH-MH\right)^2+\left(CH+MH\right)^2}=\dfrac{MA^2}{\left(BH-MH\right)^2+\left(BH+MH\right)^2}\)

\(=\dfrac{MA^2}{2\left(BH^2+MH^2\right)}=\dfrac{MA^2}{2\left(AH^2+MH^2\right)}=\dfrac{MA^2}{2MA^2}=\dfrac{1}{2}\)